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期权

期权的价格​

基于期望的定价​

基于期望的定价显然是错误的。其一，作为个人，是无法准确测得资产在未来某一时刻的所有可能价格与概率的，期望自然无从计算；其二，基于无套利定价原理，在市场的作用下所有价格总会回到无套利价格。

二叉树​

二叉树模型是使用对无套利定价原则对期权定价的一个实践。

假设存在一个股票，其初始价格为 S0S_0。在时刻 TT，它的价格仅有两种可能状态：

  • 上涨状态（Up state）：Su=S0uS_u = S_0 u
  • 下跌状态（Down state）：Sd=S0dS_d = S_0 d

它的衍生品，即待定价的期权，在时刻 TT 的损益分别为 fuf_u 和 fdf_d。市场的无风险连续复利利率为 rr。

我们构建一个组合：买入 Δ\Delta 份股票，并持有 BB 单位的无风险债券。使它在时刻 TT 时的价值等于期权的损益。据此可以得到联立的方程。

{ΔS0u+BerT=fuΔS0d+BerT=fd\begin{cases} \Delta S_0 u + B e^{rT} = f_u \\ \Delta S_0 d + B e^{rT} = f_d \end{cases}

据此可以解得：

Δ=fu−fdS0(u−d)\Delta = \frac{f_u - f_d}{S_0(u - d)}

该数值代表了为了对冲期权风险，使此组合在 TT 时与期权具有相同的损益，所必须持有的股票数。

根据无套利定价原则，一份期权，与一份上述组合，它们具有相同的未来损益，因此它们的构建成本也必须相同：

f=ΔS0+Bf = \Delta S_0 + B

将 Δ\Delta 代入任一等式中可以得到 BB，最后得到 ff 的结果：

f=e−rT[pfu+(1−p)fd]p=erT−du−d\begin{gather*} f = e^{-rT} \left[ p f_u + (1 - p) f_d \right] \\ \\ p = \frac{e^{rT} - d}{u - d} \end{gather*}

Black-Scholes​

二叉树模型定义了单步的无套利定价，这显然不适用于现实的金融交易。

Black-Scholes 模型（下文简称为 BS）在结果上可以认为是二叉树模型在步数趋于无穷大时的极限。

此处不会像推导二叉树一样详细推导 BS 模型，因为我是微积分苦手。简单来说，BS 利用伊藤引理（Itô's Lemma），认为对于进行伊藤过程的随机变量 xtx_t，一个依赖于它的函数 f(xt,t)f(x_t, t)（例如期权价格）满足个带有扩散项（风险）的偏微分公式，如果扩散项的系数消为零，则说明 ff 的值是风险无关的。

扩散项是布朗运动的增量，积分后就是布朗运动。

它最终得到了一个偏微分方程：

∂f∂t+rS∂f∂S+12σ2S2∂2f∂S2−rf=0\frac{\partial f}{\partial t} + rS \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} - rf = 0

这个偏微分方程是有解析解的，最后我们可以得到：

Call=S0N(d1)−Ke−rtN(d2)Put=Ke−rtN(−d2)−S0N(−d1)d1=ln⁡(S0/K)+(r+σ2/2)tσtd2=d1−σt\begin{gather*} Call = S_0 N(d_1) - K e^{-rt} N(d_2) \\ Put = K e^{-rt} N(-d_2) - S_0 N(-d_1) \\ \\ d_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r + \sigma^2 / 2)t}{\sigma \sqrt{t}} \\ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{t} \end{gather*}
  • S0S_0：标的资产当前的市价。
  • KK：期权的行权价。
  • tt：距离到期的时间。
  • rr：无风险利率（无风险连续复利）。
  • σ\sigma：标的资产的年化收益率波动率。
  • N(x)N(x)：标准正态分布的累积分布函数（CDF）。

Sigma​

在 BS 模型中出现的新变量，σ\sigma。它被定义为股价变动的幅度，即波动率（Volatility），相当于对二叉树模型中 u,du, d 的代替。

Sigma 在现实中不能唯一的被确定。它有两种存在形式。

  1. 历史波动率 Historical Volatility

历史波动率是对过去一段时间内对股价实际变动幅度的统计，它是股价收益率的标准差。

  1. 隐含波动率 Implied Volatility

隐含波动率是实际显示在交易平台中的数字，它是通过将 BS 模型中其他已知参数标定，代入期权现价，反推出的 σ\sigma。

这个 σ\sigma 是由买卖双方实时均衡产生的，标识着市场对未来波动的预期，显然无法以任何方式提前预知。因此 BS 模型更多的是起理论研究时的指导作用，实际价格依然是由市场自主产生的。

表观上看，高波动率意味着高期权价，这是市场认为预期的不确定性大，此期权获利的可能性高的表现。

Time Value & Intrinsic Value​

在期权定价中，任何一个期权的价格（Premium）都可以拆解为两个部分：内在价值（Intrinsic Value）和时间价值（Time Value）。

内在价值是指如果期权立即到期（或立即行权），它所具有的经济价值。它只取决于当前的标的价格 S 与行权价 K 的关系。

  • 对于看涨期权 (Call)：内在价值 = max(0, S - K)
  • 对于看跌期权 (Put)：内在价值 = max(K - S, 0)

时间价值是期权价格中超过内在价值的部分。它代表了投资者为了未来可能出现的获利机会而支付的溢价，即：时间价值 = 期权价格 - 内在价值。

只要期权还没到期，股价就有可能向有利的方向波动。时间越长，这种可能性越大。同时时间价值是会损耗的。随着到期日的临近，股价波动的可能性在不断减少。在到期日那一刻，时间价值会归零。

例：假设某看涨期权标的价格 105 元，行权价 100 元，该期权目前的市场价格为 8 元：

  • 内在价值：5
  • 时间价值：3

期权在 ATM 或 OTM 时，其总价值全部由时间价值组成。

时间价值与 sigma 并非一件事。

更多关于期权价格的说明，可转到希腊字符一章。

期权的发行​

期权的发行（卖方）不同于期权的后续流动（买方），被认为是金融市场中最高风险的行为之一。其收益是开仓时收取的权利金，但亏损理论是无穷大的。

发行期权有两种办法：

  1. 备税开仓（Covered）：在卖出期权的同时，手里已经持有了足额的标的资产。
  2. 裸卖出（Naked/Uncovered）：在没有持有标的资产的情况下直接卖出期权，在市场流向有利买家不行权时可以空手套白狼，但不利时的亏损会进一步扩大。

杠杆与末日轮​

Leverage，或称为 Gearing。杠杆被定义为当标的价格移动 1%，期权价格变动的百分数。它与 Delta 的定义类似，但又不甚相同，因为它考虑了期权和股价在量级上的差距。

具体而言，可以认为：

Δ=∂P∂SLeverage=∂P∂S⋅SP=Δ⋅SPS=Stock Price,P=Option Price\begin{gather*} \Delta = \frac{\partial P}{\partial S} \\ \text{Leverage} = \frac{\partial P}{\partial S} \cdot \frac{S}{P} = \Delta \cdot \frac{S}{P} \\\\ S=\text{Stock Price}, P=\text{Option Price} \end{gather*}

当 T→0T\rightarrow 0 且期权处于 OTM 时，我们称这种期权处于“末日轮”。在这种情况下，基于希腊字符的分析，Delta 极小趋近于 0，但它的杠杆却极高。这是因为此时期权仅具有少量的时间价值，且随着 TT 逼近 0 仍在迅速缩水，因此它的价格相比标的价格通常有数量级的差距（即 SP\frac{S}{P} 一项），Delta 对杠杆的影响会被放大。

举例而言，一个价值 $0.001 的虚值期权，受标的价格波动了 1% 的影响，价格上涨到了 $0.002，对于期权本身而言，这相当于 100% 的变动，这个过程中的杠杆是 x100。

杠杆的作用是放大了损益的比例，在上述情况下，股价的 1% 上涨就能带来 100% 的收益，但同时也可能下降 1% 就会导致爆仓。后者在此例中没有体现，但并非不可能。

末日轮，或 0DTE，即处于虚值且即将过期的期权，由于其先天的性质具有极高杠杆，成为了一种极具特色高风险高回报的产品，但其本质可以说是击鼓传花，当过期的那一刻，如果仍为虚值，则不会有任何收益。