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希腊字符 The Greeks

表观意义​

  • Delta（Δ）：股票价格上涨 1 元，期权价格会变动多少。
  • Gamma（Γ）：股票价格上涨 1 元，Delta 会变动多少。
  • Theta（Θ）：每过去一天，期权价值会流失多少。
  • Vega（ν\nu）：隐含波动率上升 1%1\%，期权价格会涨多少。

数学意义​

这些希腊字符是在 BS 模型的推理过程中得到的，它们是一系列关于期权价格的偏导数：

  • Delta (Δ\Delta)：是 ff 对 SS 的一阶导数 ∂f∂S\frac{\partial f}{\partial S}。
  • Gamma (Γ\Gamma)：是 ff 对 SS 的二阶导数 ∂2f∂S2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}。
  • Theta (θ\theta)：是 ff 对时间 tt 的一阶导数 ∂f∂t\frac{\partial f}{\partial t}。
  • Vega (ν\nu)：是 ff 对波动率 σ\sigma 的一阶导数 ∂f∂σ\frac{\partial f}{\partial \sigma}。
∂f∂t+rS∂f∂S+12σ2S2∂2f∂S2=rf\frac{\partial f}{\partial t} + rS \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = rf
Θ⏟Theta+rSΔ⏟Delta+12σ2S2Γ⏟Gamma=rf\underbrace{\Theta}_{\text{Theta}} + rS \underbrace{\Delta}_{\text{Delta}} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \underbrace{\Gamma}_{\text{Gamma}} = rf

解析解​

由于 BS 公式有解析解，我们可以直接写出这些字母的计算公式，这可以解释一些现象。对于买入欧式看涨期权（Call）：

Δ=N(d1)\Delta = N(d_1)
Γ=N′(d1)SσT\Gamma = \frac{N'(d_1)}{S \sigma \sqrt{T}}
Θ=−SN′(d1)σ2T−rKe−rTN(d2)\Theta = -\frac{S N'(d_1) \sigma}{2 \sqrt{T}} - r K e^{-rT} N(d_2)
ν=STN′(d1)\nu = S \sqrt{T} N'(d_1)

N′(x)N'(x) 是正态分布的概率密度函数（PDF）。

上述解析式，以及接下来的分析都是基于买入看涨期权的情况，对于卖出/看跌其结论需要作对应的变换。

时间的影响​

Gamma、Theta、Vega 的解析式中都有时间 TT 的参与，这可以用来解释一些现象。

Γ=N′(d1)SσT\Gamma = \frac{N'(d_1)}{S \sigma \sqrt{T}}

当 TT 趋于 0 时，Gamma 会变的极大，这会导致期权价格对于股价变得超级敏感。因为此时一旦波动到实值就会出现几乎无风险（因为 T→0T\rightarrow 0）的套利机会。

当 TT 趋于无穷时，长远来看到期价格与现时价格无关，Gamma 趋于 0，Delta 几乎不会变化。

Θ=−SN′(d1)σ2T−rKe−rTN(d2)\Theta = -\frac{S N'(d_1) \sigma}{2 \sqrt{T}} - r K e^{-rT} N(d_2)

当 TT 趋于 0 时，Theta 会快速膨胀，这说明期权的时间价值（Time Value）在迅速下降，即投资者愿意为 “到期价格与现时价格有更大差距” 这一可能性而支付的溢价在迅速下降。

当 TT 趋于无穷时，Theta 趋于一个稳定的常数，取决于无风险利率与波动率，每天的时间价值稳定且缓慢的减少。

ν=STN′(d1)\nu = S \sqrt{T} N'(d_1)

当 TT 趋于 0 时，Vega 也趋于 0。到期瞬间，期权价值完全由它的实值决定，波动率已经没有时间去发挥影响力了。

当 TT 趋于无穷时，Vega 趋于无穷大，直观上可以理解为：波动率表明了股价可能波动的上下范围，且 TT 越大此范围就越大。时间越长，波动率对未来路径的影响就越深远，作为看涨期权的买家，这意味着可能的获利空间更大，因此愿意花更多的钱购买这份可能性。

价格的影响​

希腊字母虚值 (OTM)平值 (ATM)实值 (ITM)
Delta趋近于 0约 0.5 (Call) / -0.5 (Put)趋近于 1 (Call) / -1 (Put)
Gamma较低最高 (峰值)较低
Theta较低最高 (损失最快)较低（但高于 OTM）
Vega较低最高 (最敏感)较低

期权的涨跌​

期权价格的涨跌是由多个分量共同决定的。通过 BS 模型的偏微分方程，定性的，我们可以得到这样的式子：

ΔV≈Δ⋅(δS)+12Γ⋅(δS)2+Θ⋅(δt)+ν⋅(δσ)\Delta V \approx \Delta \cdot (\delta S) + \frac{1}{2} \Gamma \cdot (\delta S)^2 + \Theta \cdot (\delta t) + \nu \cdot (\delta \sigma)

这里当然省略了非常多的细节，不过依然可以借此分析每个部分的意义。

  • Δ⋅(δS)\Delta \cdot (\delta S)：股价变动带来的损益（线性的）。
  • 12Γ⋅(δS)2\frac{1}{2} \Gamma \cdot (\delta S)^2：股价变动带来的损益（非线性的）。
  • Θ⋅(δt)\Theta \cdot (\delta t)：时间流逝带来的损益。
  • ν⋅(δσ)\nu \cdot (\delta \sigma)：波动率变化带来的损益。