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2.1 风险

现代投资组合理论 MPT​

  • 风险与回报的权衡
  • 通过收益方差来衡量风险
  • 均值-方差有效投资组合（Mean-variance efficient portfolio）

风险的量化​

考虑一个投资，它有 p1p_1 的概率变化到 r1r_1，有 p2p_2 的概率变化到 r2r_2。

它的预期收益：

E(r)=rˉ=∑prE(r) = \bar{r} = \sum p r

这个投资的风险被定义为：

σ=∑pi(ri−rˉ)2\sigma = \sqrt{\sum p_i(r_i - \bar{r})^2}

也就是预期收益的标准差（Standard Deviation）。

风险厌恶程度的量化​

效用函数（Utility function）：一种对具有不同风险/收益特征的投资组合进行排序的方法。在同条件下，效用函数更高的投资组合被认为是更好的。

一个常见的选择是使用：

U=E(r)−12Aσ2U = E(r) - \frac{1}{2} A \sigma^2

其中 AA 是投资者风险承受能力的衡量指标。

  • A>0A>0: 风险规避（averse）
  • A=0A=0: 风险中性（neutral）
  • A<0A<0: 风险喜好（seeking）

投资组合收益与风险的量化​

假设投资者已经选定了一些风险资产放入投资组合，并确定了各资产的预期收益 E(r) 与风险 σ。

这是一个很大的假设

构建投资组合：

P=∑viSiP = \sum v_i S_i

其中 viv_i 与 SiS_i 分别表示资产 ii 的持有量和价格。从持有量与价格可以推定各资产的配置权重 wiw_i。

那么，这个投资组合的预期收益就是各资产预期收益的加权：

rpˉ=∑wirˉi\bar{r_p} = \sum w_i \bar{r}_i

此外，利用已记录的历史数据，我们可以计算资产间的协方差（Covariance）与相关系数（Correlation）：

σij=1M∑k=1M(rik−rˉi)(rjk−rˉj)\sigma_{ij} = \frac{1}{M} \sum_{k=1}^{M} (r_{ik} - \bar{r}_i)(r_{jk} - \bar{r}_j)
ρij=σijσiσj\rho_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{\sigma_i\sigma_j}

进一步的，这个投资组合的方差，也即风险，被确定为：

σp2=∑i=1Nwi2σi2+∑i≠jNwiwjσij\sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{N} w_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i\neq j}^{N} w_i w_j \sigma_{ij}

投资组合的风险可以被分为两个方面。分别是第一项，由所投资的资产带来的，被称为可分散风险（diversifiable risk）、非系统性风险或特异性风险，可以通过分散投资（N→inf⁡N\rightarrow \inf）来趋于零；以及第二项，由资产间相关性带来的，也被称为不可分散风险或系统性风险（systematic risk）。

关于系统性风险的讨论将在均衡一章进一步展开。

双资产投资组合例​

双资产投资组合例

不同的 ρ\rho 会导致一个双资产投资组合在收益-风险图上走出不同的路线。

显然，ρ\rho 越低，通过多样化投资实现的风险降低幅度就更大。

可行集合与有效前沿​

一个投资组合，通过调整各资产的权重所能取得的 (rˉp,σp)(\bar{r}_p, \sigma_p) 是有界的，我们可以在收益-风险图中以阴影形式标记：

可行集合

在图中，投资组合 A 在各方面都优于（dominates）投资组合 B，这是因为它在相同风险下能取得更高的预期收益。

图中的标红线被称为有效前沿（Efficient Frontier），也即所有最优的投资组合的集合。

取得有效前沿是一个相当复杂的优化问题，特别是当备选的资产数量足够多时。

与无风险资产进行组合​

记风险投资组合 (σA,rA)(\sigma_A, r_A)，无风险资产 (0,rB)(0, r_B)

由 A 和 B 组成的投资组合 P 将具有以下特征：

rˉP=rˉB+rˉA−rˉBσAσP\bar{r}_P = \bar{r}_B + \frac{\bar{r}_A - \bar{r}_B}{\sigma_A} \sigma_P

这也是一条经过两点的直线，被称为资本配置线（Capital Allocation Line）。

资本配置线

当 wA,wB>0w_A, w_B > 0 时，资产处于实线区域。而当 wB<0w_B<0 时，投资者进行了借贷，风险资产的权重可以大于 100%，也即上了杠杆，资产处于虚线区域。

有时，无风险利率与借款利率不同，这会使 CAL 的虚线部分有所改变，如下图所示：

资本配置线2

在可行范围内，我们会希望 CAL 越陡越好，这使得承担的每一份风险的价值能最大化，也即夏普比率的最大化。

CAL切线

在上图中，CAL2 是最优的，它选择了有效前沿与无风险资产的切点。而 CAL3 不能实现，因为没有有效的风险资产。

CAL2 与 有效前沿的切点，就是这一模型所给出的最优化资产配置，Optimal Risky Portfolio。

为什么需要将风险资产和无风险资产一起考虑：通过组合，可以让投资者根据自身的风险承受能力，在线性水平上调整风险，而不用频繁更换资产配比。

实施问题​

  • 如何降低问题的复杂性？
  • 如何为投资组合选择资产？

单因素模型​

在求有效前沿的过程中，我们需要维护资产的协方差矩阵。这在实际使用中会带来两个问题：

  • 协方差矩阵的计算量与大小会随资产增加呈平方的膨胀。
  • 可能会带来不一致的结果：
    • 采用数据的线性依赖、样本量不足、微小的噪声等都会导致协方差矩阵存在非正定风险

为了简化问题，假设股票间的联动是由共同的一个或多个因素引起的。

我们可以用一个覆盖面广泛的市值加权指数，例如标普500，作为宏观因子。那么，一个股票的回报被具体定义为：

Ri=αi+βiRM+eiR_i = \alpha_i + \beta_i R_M + e_i
  • RiR_i: 资产 i 的回报
  • αi\alpha_i: 资产 i 的预期回报（Expected Return）
  • β\beta: 资产 i 对因子 F 的敏感性
  • eie_i: 资产 i 的非预期回报（Unexpected Return）
  • RMR_M: 作为宏观因子的市场指数

上述的构造有以下的性质：

  • e 是随机而不可预测的：E(ei)=0E(e_i) = 0
  • 不同资产间的 e 是无关的：E(eiej)=0E(e_i e_j) = 0

于是可以得到在单因素模型下，资产的期望收益与方差：

E(Ri)=αi+βiE(RM)E(R_i) = \alpha_i + \beta_i E(R_M)
σi2=E(Ri−E(Ri))2=E[βi(RM−E(RM)+ei)]2=βi2E(RM−E(RM))2+E(ei)2=βi2σM2+σei2\begin{aligned} \sigma_i^2 &= E(R_i - E(R_i))^2 \\ &= E \left[ \beta_i(R_M - E(R_M) + e_i) \right]^2 \\ &= \beta_i^2 E(R_M - E(R_M))^2 + E(e_i)^2 \\ &= \beta_i^2 \sigma_M^2 + \sigma_{e_i}^2 \end{aligned}

方差同样分为两部分，市场相关风险（第一项）与股票的特异性风险（第二项）。

采用单因素模型的优势在于，只要确定了每个资产与宏观因素的关系，任意两个资产之间的协方差容易通过 β 推定：σij=βiβjσM2\sigma_{ij} = \beta_i\beta_j\sigma_M^2，而不再需要根据历史数据去计算维护一整个协方差矩阵。